Μαθηματικά Γ’ Λυκείου: Το Θέμα Α από τις Πανελλήνιες Εξετάσεις! Ορισμοί, Αποδείξεις και Σωστό-Λάθος που έχουν πέσει Μεθοδικά και οργανωμένα για την επανάληψη σου.

  • Quiz
Κιμωλίες και χαρτακιά που αναφέρουν τη λέξη μάθηση,

Περιεχόμενα

Ακολούθησε μας στα social και μοιράσου αυτό το περιέχομενο με κάποιον που δίνει Πανελλήνιες

Facebook Instagram Youtube

Οι Ορισμοί που έχουν "πέσει" στις Πανελλήνιες Εξετάσεις στο Θέμα Α των Μαθηματικών

Στις παράκατω κάρτες βρες όλες τους ορισμούς που έχουν ζητηθεί στις Πανελλήνιες Εξετάσεις των Μαθηματικών της Γ’ Λύκειου από το 2000 έως και το 2023.

Χρησιμοποίησε τις κάρτες για να τους μάθεις! Δεν νοείται να πας να γράψεις χωρίς να ξέρεις αυτά που ήδη έχουν ζητηθεί!

Τσέκαρε τις γνώσεις στους παραπάνω ορισμούς με το παρακάτω flashcard challenge

Οι Αποδείξεις που έχουν "πέσει"

Στην παρκάτω λίστα βρες και μάθε όλες τις αποδείξεις που έχουν ζητηθεί στις Πανελλήνιες των Μαθηματικών της Γ’ Λυκείου από το 2000 έως το 2023

Οι ερωτήσεις τύπου Σωστό - Λάθος από το Θέμα Α των Πανελληνίες στα Μαθηματικά

Σωστό - Λάθος από κανονικές και επαναληπτικές Πανελλήνιες Μαθηματικών του 2000 & 2002

/12

Πανελλήνιες Μαθηματικών 2000 & 2002

1 / 12

Αν η συνάρτηση \( f \) είναι ορισµένη στο \( [α,β] \) και συνεχής στο \( (α,β] \), τότε η \( f \) παίρνει πάντοτε στο \( [α,β] \) µία µέγιστη τιµή.

Πανελλήνιες 2002

2 / 12

Αν \( \int\limits_{α}^{β} f(x)dx \geq 0 \), τότε κατ' ανάγκη θα είναι \( f(x) \geq 0 \) για κάθε \( x \in [α,β] \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2002

3 / 12

Αν η \( f \) δεν είναι συνεχής στο \( x_0 \),τότε η \( f \) είναι παραγωγίσιμη στο \( x_0 \).

Πανελλήνιες 2000

4 / 12

Αν η \( f \) είναι παραγωγίσιμη στο \( x_0 \), τότε η \( f ^\prime \) είναι πάντοτε συνεχής στο \( x_0 \).

Πανελλήνιες 2000

5 / 12

Αν \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) > 0 \), τότε \( f(x) >0 \) κοντά στο \( x_0 \).

Πανελλήνιες 2002

6 / 12

Η εικόνα \( f(∆) \) ενός διαστήµατος \( ∆ \) µέσω µιας συνεχούς και µη σταθερής συνάρτησης \( f \) είναι διάστηµα.

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2002

7 / 12

Αν η \( f \) έχει δεύτερη παράγωγο στο \( x_0 \),τότε η \( f ^\prime \) είναι συνεχής στο \( x_0 \).

Πανελλήνιες 2000

8 / 12

Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης \( f \) στο \( x_0 \) και \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} |f(x)| = 0 \), τότε \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = 0 \).

Πανελλήνιες 2002

9 / 12

Αν η συνάρτηση \( f \) είναι συνεχής στο διάστηµα \( [α,β] \) και υπάρχει \( x_0 \in (α, β) \) τέτοιο ώστε \( f(x_0)=0 \), τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει \( f(α) \cdot f(β)<0 \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2002

10 / 12

Αν η συνάρτηση \( f \) είναι παραγωγίσιµη στο \( \mathbb{R} \) και δεν είναι αντιστρέψιµη, τότε υπάρχει κλειστό διάστηµα \( [α,β] \) , στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος Rolle.

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2002

11 / 12

Έστω συνάρτηση \( f \) ορισµένη και παραγωγίσιµη στο διάστηµα \( [α,β] \) και σηµείο \( x_0 \in [α,β] \) στο οποίο η \( f \) παρουσιάζει τοπικό µέγιστο. Tότε πάντα ισχύει ότι \( f΄(x_0)=0 \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2002

12 / 12

Κάθε συνάρτηση, που είναι \( 1-1 \) στο πεδίο ορισµού της, είναι γνησίως µονότονη.

Πανελλήνιες 2002

Your score is

Facebook
0%

Σωστό - Λάθος από κανονικές και επαναληπτικές Πανελλήνιες Μαθηματικών του 2003 & 2004

/13

Πανελλήνιες Μαθηματικών 2003 & 2004

1 / 13

Αν υπάρχει το όριο της \( f \) στο \( x_0 \), τότε \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \sqrt[k]{f(x)} = \sqrt[k]{\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x)} \), εφόσον \( f(x) \geq 0 \) κοντά στο \( x_0 \), με \( k \in \mathbb{N} \) και \( k \geq 2 \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2004

2 / 13

Μία συνάρτηση \( f : Α \rightarrow \mathbb{R} \) είναι συνάρτηση \( 1 − 1 \), αν και µόνο αν για οποιαδήποτε \( x_1, x_2 \in A \) ισχύει η συνεπαγωγή: αν \( x_1 = x_2 \), τότε \( f(x_1) = f(x_2) \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2003

3 / 13

Αν µία συνάρτηση \( f \) είναι συνεχής σ’ ένα σηµείο \( x_0 \) του πεδίου ορισµού της, τότε είναι και παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό.

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2004

4 / 13

Έστω µια συνάρτηση \( f \), η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα \( ∆ \). Αν \( f ^\prime (x)>0 \) σε κάθε εσωτερικό σηµείο \( x \) του \( ∆ \), τότε η \( f \) είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το \( ∆ \).

Πανελλήνιες 2004

5 / 13

Οι γραφικές παραστάσεις \( C \) και \( C ^\prime \) των συναρτήσεων \( f \) και \( f^{-1} \) είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία \( y = x \) που διχοτοµεί τις γωνίες \( x \hat{Ο} y \) και \( x^\prime \hat{Ο} y^\prime \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2004

6 / 13

Έστω \( f \) µια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστηµα \( [α,β] \). Αν \( G \) είναι µια παράγουσα της \( f \) στο \( [α,β] \), τότε \( \int\limits_{α}^{β} f(t) dt = G(β) - G(α) \)

Πανελλήνιες 2004

7 / 13

\( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = \ell \), αν και μόνο αν \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = \ell \).

Πανελλήνιες 2004

8 / 13

Έστω µια συνάρτηση \( f \) ορισµένη σε ένα διάστηµα \( ∆ \) και \( x_0 \) ένα εσωτερικό σηµείο του \( ∆ \). Αν η \( f \) είναι παραγωγίσιµη στο \( x_0 \) και \( f ^\prime (x_0)=0 \), τότε η \( f \) παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο \( x_0 \).

Πανελλήνιες 2003

9 / 13

Αν \( f, ~ g \) είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού \( \mathbb{R} \) και ορίζονται οι συνθέσεις \( f \circ g \) και \( g \circ f \), τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες.

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2004

10 / 13

Έστω µία συνάρτηση \( f \) παραγωγίσιµη σ' ένα διάστηµα \( (α, β) \), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του \( x_0 \), στο οποίο όµως η \( f \) είναι συνεχής. Αν \( f ^\prime (x) > 0 \) στο \( (α, x_0) \) και \( f ^\prime (x) < 0 \) στο \( (x_0, β) \), τότε το \( f (x_0) \) είναι τοπικό ελάχιστο της \( f \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2003

11 / 13

Αν οι συναρτήσεις \( f, ~ g\) είναι παραγωγίσιµες στο \( x_0 \), τότε η συνάρτηση \( f \cdot g \) είναι παραγωγίσιµη στο \( x_0 \) και ισχύει: \( (f \cdot g) ^\prime (x_0) = f ^\prime (x_0) g ^\prime (x_0) \)

Πανελλήνιες 2004

12 / 13

Αν µια συνάρτηση \( f \) είναι κυρτή σε ένα διάστηµα \( ∆ \), τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της \( f \) σε κάθε σηµείο του \( ∆ \) βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση.

Πανελλήνιες 2003

13 / 13

Έστω µία συνάρτηση \( f \) συνεχής σε ένα διάστηµα \( ∆ \) και δύο φορές παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του \( ∆ \). Αν \( f^{\prime \prime}(x) > 0 \) για κάθε εσωτερικό σηµείο \( x \) του \( ∆ \), τότε η \( f \) είναι κυρτή στο \( ∆ \).

Πανελλήνιες 2003

Your score is

0%

Σωστό - Λάθος από κανονικές και επαναληπτικές Πανελλήνιες Μαθηματικών του 2005

/8

Πανελλήνιες Μαθηματικών 2005

1 / 8

Αν η \( f \) είναι συνεχής στο \( [α, β] \) με \( f(α) 0 \).

Πανελλήνιες 2005

2 / 8

Αν υπάρχει το \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \big( f(x) + g(x) \big) \), τότε κατ' ανάγκη υπάρχουν τα \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) \) και \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} g(x) \).

Πανελλήνιες 2005

3 / 8

Αν η \( f \) έχει αντίστροφη συνάρτηση \( f^{–1} \) και η γραφική παράσταση της \( f \) έχει κοινό σημείο \( Α \) με την ευθεία \( y = x \), τότε το σημείο \( Α \) ανήκει και στη γραφική παράσταση της \( f^{–1} \).

Πανελλήνιες 2005

4 / 8

Αν μια συνάρτηση \( f \) είναι συνεχής σε ένα διάστημα \(∆ \) και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε \( x \in ∆ \) ή είναι αρνητική για κάθε \( x \in ∆ \), δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα \( ∆ \).

Πανελλήνιες 2005

5 / 8

Αν \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = 0 \) και \( f(x)>0 \) κοντά στο \( x_0 \), τότε \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)} = + \infty \)

Πανελλήνιες 2005

6 / 8

Έστω μια συνάρτηση \( f \) παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα \( (α,β) \) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του \( x_0 \). Αν η \( f \) είναι κυρτή στο \( (α,x_0) \) και κοίλη στο \( (x_0,β) \) ή αντιστρόφως, τότε το σημείο \( Α(x_0,f(x_0)) \) είναι υποχρεωτικά σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της \( f \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2005

7 / 8

Αν για δύο συναρτήσεις \( f,~g \) ορίζονται οι \( f \circ g \) και \( g \circ f \), τότε είναι υποχρεωτικά \( f \circ g \neq g \circ f \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2005

8 / 8

Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος \( ∆ \), στα οποία η \( f \) δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το \( 0 \), λέγονται κρίσιμα σημεία της \( f \) στο διάστημα \( ∆ \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2005

Your score is

0%

Σωστό - Λάθος από κανονικές και επαναληπτικές Πανελλήνιες Μαθηματικών του 2006

/8

Πανελλήνιες Μαθηματικών 2006

1 / 8

Ισχύει ο τύπος \( \left( 3^x \right) ^\prime = x \cdot 3^{x-1} \), για κάθε \( x \in \mathbb{R} \).

Πανελλήνιες 2006

2 / 8

Αν υπάρχει το \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) > 0 \), τότε \( f(x) > 0 \) κοντά στο \( x_0 \).

Πανελλήνιες 2006

3 / 8

Ισχύει η σχέση \( \int\limits_{α}^{β} f(x) g^\prime (x) dx = [ f(x)g(x) ]_{α}^{β} - \int\limits_{α}^{β} f^\prime (x) g(x) dx\), όπου \( f^\prime \), \( g^\prime \) είναι συνεχής συναρτήσεις.

Πανελλήνιες 2006

4 / 8

Μια συνάρτηση \( f:Α \rightarrow \mathbb{R} \) είναι \( 1–1 \), αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο \( y \) του συνόλου τιμών της η εξίσωση \( f(x)=y \) έχει ακριβώς μία λύση ως προς \( x \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2006

5 / 8

Έστω \( f \) μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα \( [α,β] \). Αν \( G \) είναι μία παράγουσα της \( f \) στο \( [α,β] \), τότε \( \int\limits_{α}^{β} f(t)dt = G(α)– G(β) \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2006

6 / 8

Για κάθε \( x \neq 0 \) ισχύει \( [\ell n |x| ]^\prime = \frac{1}{x} \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2006

7 / 8

H εικόνα \( f(∆) \) ενός διαστήματος \( ∆ \) μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης \( f \) είναι διάστημα.

Πανελλήνιες 2006

8 / 8

Αν οι συναρτήσεις \( f, ~ g \) είναι παραγωγίσιμες στο \( x_0 \) και \( g(x_0) \neq 0 \), τότε η συνάρτηση \( \frac{f}{g} \) είναι παραγωγίσιμη στο \( x_0 \) και ισχύει: \( \left( \frac{f}{g} \right)^\prime (x_0) = \frac{f(x_0)g^\prime (x_0) - f^\prime (x_0) g(x_0)}{[g(x_0)]^2} \)

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2006

Your score is

0%

Σωστό - Λάθος από κανονικές και επαναληπτικές Πανελλήνιες Μαθηματικών του 2007

/8

Πανελλήνιες Μαθηματικών 2007

1 / 8

Αν \( f \) συνάρτηση συνεχής στο διάστημα \( [α,β] \) και για κάθε \( x \in [α,β] \) ισχύει \( f(x) \geq 0 \) τότε \( \int\limits_{α}^{β} f(x)dx>0 \).

Πανελλήνιες 2007

2 / 8

Αν \( α>1 \) τότε \( \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} α^x = 0 \).

Πανελλήνιες 2007

3 / 8

Έστω δύο συναρτήσεις \( f, g \) ορισμένες σε ένα διάστημα \( ∆ \). Αν οι \( f,~g \) είναι συνεχείς στο \( ∆ \) και \( f ^\prime (x) = g ^\prime (x) \) για κάθε εσωτερικό σημείο \( x \) του \( ∆ \), τότε ισχύει \( f(x) = g(x) \) για κάθε \( x \in ∆ \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2007

4 / 8

Η εικόνα \( f(∆) \) ενός διαστήματος \( ∆ \) μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης \( f \) είναι διάστημα.

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2007

5 / 8

Έστω \( f \) μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα \( ∆ \) και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο \( x \) του \( ∆ \). Αν η συνάρτηση \( f \) είναι γνησίως αύξουσα στο \( ∆ \) τότε \( f ^\prime (x) > 0 \) σε κάθε εσωτερικό σημείο \( x \) του \( ∆ \).

Πανελλήνιες 2007

6 / 8

Αν μια συνάρτηση \( f \) είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα \( (α,β) \), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα \( (Α,Β) \) όπου \( Α = \lim\limits_{x \rightarrow α^+} f(x) \) και \( Β = \lim\limits_{x \rightarrow β^-} f(x) \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2007

7 / 8

Αν \( f,~g,~g^\prime \) είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα \( [α,β] \), τότε \( \int\limits_{α}^{β} f(x) g^\prime(x) dx = \int\limits_{α}^{β} f(x)dx \cdot \int\limits_{α}^{β} g^\prime (x) dx \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2007

8 / 8

Αν η συνάρτηση \( f \) είναι συνεχής στο \( x_0 \) και η συνάρτηση \( g \) είναι συνεχής στο \( x_0 \) , τότε η σύνθεσή τους \( g \circ f \) είναι συνεχής στο \( x_0 \).

Πανελλήνιες 2007

Your score is

0%

Σωστό - Λάθος από κανονικές και επαναληπτικές Πανελλήνιες Μαθηματικών του 2008

/8

Πανελλήνιες Μαθηματικών 2008

1 / 8

Aν η \( f \) είναι συνεχής σε διάστημα \( ∆ \) και \( α,β,γ \in ∆ \) τότε ισχύει \( \int\limits_{α}^{β} f(x) dx = \int\limits_{α}^{γ} f(x) dx + \int\limits_{γ}^{β} f(x) dx \).

Πανελλήνιες 2008

2 / 8

Αν μια συνάρτηση \( f \) είναι κοίλη σ’ ένα διάστημα \( ∆ \), τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της \( f \) σε κάθε σημείο του \( ∆ \) βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2008

3 / 8

Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα σύνολο της μορφής \( (α,x_0) \cup (x_0, β) \) και \( \ell \) ένας πραγματικός αριθμός. Τότε ισχύει η ισοδυναμία: \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = \ell \Leftrightarrow \lim\limits_{x \rightarrow x_0} ( f(x) - \ell ) =0 \)

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2008

4 / 8

Μια συνεχής συνάρτηση \( f \) διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της \( f \) χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

Πανελλήνιες 2008

5 / 8

Αν μια συνάρτηση \( f:A \rightarrow \mathbb{R} \) είναι \( 1−1 \), τότε για την αντίστροφη συνάρτηση \( f^{−1} \) ισχύει: \( f^{-1}(f(x)) = x\), \( x \in Α \) και \( f(f^{-1}(y) = y \), \( y \in f(Α) \).

Πανελλήνιες 2008

6 / 8

Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι \( 1–1 \), αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες.

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2008

7 / 8

Το ολοκλήρωμα \( \int\limits_{α}^{β} f(x) dx \) είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα \( x ^\prime x \) μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα \( x ^\prime x \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2008

8 / 8

Αν μια συνάρτηση \( f \) είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο \( \mathbb{R} \) και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει \( f ^{\prime \prime}( x ) > 0 \) για κάθε πραγματικό αριθμό \( x \).

Πανελλήνιες 2008

Your score is

0%

Σωστό - Λάθος από κανονικές και επαναληπτικές Πανελλήνιες Μαθηματικών του 2009

/7

Πανελλήνιες Μαθηματικών 2009

1 / 7

Έστω η συνάρτηση \( f(x) = εφx \). H συνάρτηση \( f \) είναι παραγωγίσιμη στο \( \mathbb{R}_1 = \mathbb{R} - \{ x ~ | ~ συνx=0 \} \) και ισχύει \( f ^\prime (x) = -\frac{1}{συν ^2 x} \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2009

2 / 7

Μία συνάρτηση \( f \) με πεδίο ορισμού \( Α \) λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο \( x_0 \in A \), όταν \( f(x) \geq f(x_0) \) για κάθε \( x \in A \).

Πανελλήνιες 2009

3 / 7

\( \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{συνx-1}{x} = 1 \)

Πανελλήνιες 2009

4 / 7

Αν \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = 0 \) και \( f(x) < 0 \) κοντά στο \( x_0 \) τότε \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)} = +\infty \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2009

5 / 7

Αν μία συνάρτηση \( f \) είναι συνεχής σε ένα διάστημα \( [α, β] \) και ισχύει \( f(x)<0 \) για κάθε \( x \in [α, β] \), τότε το εμβαδόν του χωρίου \( Ω \) που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της \( f \), τις ευθείες \( x=α \), \( x=β \) και τον άξονα \( x ^\prime x \) είναι: \( Ε(Ω) = \int\limits_{α}^{β} f(x) dx \).

Πανελλήνιες 2009

6 / 7

Η συνάρτηση \( f \) είναι \( 1-1 \), αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της \( f \) το πολύ σε ένα σημείο.

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2009

7 / 7

Κάθε συνάρτηση \( f \) συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

Πανελλήνιες 2009

Your score is

0%

Σωστό - Λάθος από κανονικές και επαναληπτικές Πανελλήνιες Μαθηματικών του 2010

/8

Πανελλήνιες Μαθηματικών 2010

1 / 8

Αν \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = + \infty \) ή \( - \infty \), τότε \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)} = 0 \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2010

2 / 8

Αν \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) < 0 \), τότε \( f(x) <0 \) κοντά στο \( x_0 \).

Πανελλήνιες 2010

3 / 8

Αν \( f(x) = α^x \), \( α>0 \), τότε ισχύει \( (α^x)^\prime = xα^{x-1} \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2010

4 / 8

\( (συνx) ^\prime = ημx \), \( x \in \mathbb{R} \).

Πανελλήνιες 2010

5 / 8

Αν μια συνάρτηση \( f \) είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα \( [α,β] \) και ισχύει \( f(x) \geq 0 \) για κάθε \( x \in [α,β] \), τότε \( \int\limits_{α}^{β} f(x) dx \geq 0 \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2010

6 / 8

Αν ορίζονται οι συναρτήσεις \( f \circ g \) και \( g \circ f \), τότε πάντοτε ισχύει \( f \circ g = g \circ f \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2010

7 / 8

Έστω συνάρτηση \( f \) συνεχής σε ένα διάστημα \( ∆ \) και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του \( ∆ \). Αν η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα στο \( ∆ \), τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του \( ∆ \).

Πανελλήνιες 2010

8 / 8

Αν μια συνάρτηση \( f \) είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα \( (α,β) \), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα \( (Α,Β) \), όπου \( Α = \lim\limits_{x \rightarrow α^+} f(x) \) και \( Β = \lim\limits_{x \rightarrow β^-} f(x) \).

Πανελλήνιες 2010

Your score is

0%

Σωστό - Λάθος από κανονικές και επαναληπτικές Πανελλήνιες Μαθηματικών του 2011

/8

Πανελλήνιες Μαθηματικών 2011

1 / 8

Για κάθε \( x \in \mathbb{R}_1 = \mathbb{R} - \{ x|συνx \} \) ισχύει: \( (εφx) ^\prime = - \frac{1}{συν ^2 x} \).

Πανελλήνιες 2011

2 / 8

Αν \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = 0 \) και \( f(x) > 0 \) κοντά στο \( x_0 \), τότε \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)} = + \infty \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2011

3 / 8

Ισχύει ότι \( \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{ημx}{x} = 1 \).

Πανελλήνιες 2011

4 / 8

Αν μια συνάρτηση \( f \) είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα \( ∆ \), τότε είναι και \( 1-1 \) στο διάστημα αυτό.

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2011

5 / 8

Μία συνάρτηση \( f \) με πεδίο ορισμού \( Α \) θα λέμε ότι παρουσιάζει στο \( x_0 \in A \) (ολικό) μέγιστο το \( f(x_0) \), όταν \( f(x) \leq f(x_0) \) για κάθε \( x \in A \)

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2011

6 / 8

Οι γραφικές παραστάσεις \( C \) και \( C^\prime \) των συναρτήσεων \( f \) και \( f^{–1} \) είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία \( y=x \) που διχοτομεί τις γωνίες \( x \hat{O} y \) και \( x ^\prime \hat{O} y ^\prime \).

Πανελλήνιες 2011

7 / 8

Μια συνάρτηση \( f:A \rightarrow \mathbb{R} \) λέγεται συνάρτηση \( 1-1 \), όταν για οποιαδήποτε \( x_1,x_2 \in Α \) ισχύει η συνεπαγωγή: αν \( x_1 \neq x_2 \), τότε \( f(x_1) \neq f(x_2) \).

Πανελλήνιες 2011

8 / 8

Κάθε συνάρτηση \( f \) που είναι συνεχής σε ένα σημείο \( x_0 \) του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2011

Your score is

0%

Σωστό - Λάθος από κανονικές και επαναληπτικές Πανελλήνιες Μαθηματικών του 2012

/8

Πανελλήνιες Μαθηματικών 2012

1 / 8

Αν \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = + \infty \), τότε \( f(x) < 0 \) κοντά \( x_0 \).

Πανελλήνιες 2012

2 / 8

Μια συνάρτηση \( f \) είναι \( 1-1 \), αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο \( y \) του συνόλου τιμών της η εξίσωση \( f(x)=y \) έχει ακριβώς μία λύση ως προς \( x \).

Πανελλήνιες 2012

3 / 8

Αν είναι \( 0<α<1 \), τότε \( \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} α^x = + \infty \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2012

4 / 8

Έστω \( f \) μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα \( [α, β] \). Αν \( G \) είναι μια παράγουσα της \( f \) στο \( [α, β] \), τότε \( \int\limits_{α}^{β} f(t) dt = G(α) - G(β) \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2012

5 / 8

Αν μια συνάρτηση \( f \) δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο \( x_0 \), τότε δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο \( x_0 \)

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2012

6 / 8

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \( –f \) είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα \( x ^\prime x \), της γραφικής παράστασης της \( f \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2012

7 / 8

\( (σφx)^\prime = \frac{1}{ημ ^2 x} \), \( x \in \mathbb{R} - \{x|ημx=0\} \).

Πανελλήνιες 2012

8 / 8

\( \int\limits_{α}^{β} f(x) g ^\prime (x) dx = [f(x)g(x)]_{α}^{β} + \int\limits_{α}^{β} f ^\prime (x) g(x) dx \), όπου \( f ^\prime,~g ^\prime \) είναι συνεχείς συναρτήσεις στο \( [α,β] \).

Πανελλήνιες 2012

Your score is

0%

Σωστό - Λάθος από κανονικές και επαναληπτικές Πανελλήνιες Μαθηματικών του 2013

/8

Πανελλήνιες Μαθηματικών 2013

1 / 8

Αν μια συνάρτηση \( f \) είναι συνεχής σε ένα διάστημα \( Δ \) και δεν μηδενίζεται σε αυτό, τότε η \( f \) διατηρεί πρόσημο στο διάστημα \( Δ \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2013

2 / 8

Μια συνεχής συνάρτηση \( f \) διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της \( f \) χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

Πανελλήνιες 2013

3 / 8

Αν \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = -\infty \), τότε \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \big( -f(x) \big) = +\infty \)

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2013

4 / 8

Ισχύει ότι: \( \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{συνx-1}{x} = 1 \).

Πανελλήνιες 2013

5 / 8

Για δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις \( f, ~ g \) παραγωγίσιμες στο \( x_0 \) ισχύει: \( (fg)^\prime(x_0) = f^\prime (x_0) g(x_0) - f(x_0) g^\prime(x_0) \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2013

6 / 8

Ισχύει ότι: \( |ημx| \leq |x| \) για κάθε \( x \in \mathbb{R} \).

Πανελλήνιες 2013

7 / 8

Αν μια συνάρτηση \( f \) είναι \( 1−1 \) στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της \( f \) με την ίδια τεταγμένη.

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2013

8 / 8

Αν \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) < 0 \), τότε \( f(x) < 0 \) κοντά στο \( x_0 \).

Πανελλήνιες 2013

Your score is

0%

Σωστό - Λάθος από κανονικές και επαναληπτικές Πανελλήνιες Μαθηματικών του 2017

/10

Πανελλήνιες Μαθηματικών 2017

1 / 10

Η εικόνα \( f (Δ) \) ενός διαστήματος \(Δ\) μέσω μίας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης \( f \) είναι διάστημα.

Πανελλήνιες 2017

2 / 10

Αν ένα σημείο \( Μ(α,β) \) ανήκει στη γραφική παράσταση μιας αντιστρέψιμης συνάρτησης \( f \), τότε το σημείο \( Μ^\prime(β,α) \) ανήκει στη γραφική παράσταση \( C^\prime \) της \( f^{-1}\).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2017

3 / 10

Μία συνάρτηση \( f \) λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα \( Δ \) του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχουν \( x_1,x_2 \in Δ \) με \( x_1<x_2\), ώστε \( f(x_1)<f(x_2) \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2017

4 / 10

Για κάθε συνεχή συνάρτηση \( f : [α,β] \rightarrow \mathbb{R} \), αν \( G \) είναι μία παράγουσα της \( f \) στο \( [α,β]\), τότε \( \int\limits_{β}^{α} f(x)dx = G(α) - G(β) \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2017

5 / 10

Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) και \( g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), αν \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = 0 \) και \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} g(x) = +\infty \), τότε \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} [f(x) \cdot g(x)] = 0 \).

Πανελλήνιες 2017

6 / 10

Για κάθε συνεχή συνάρτηση \( f : [α,β] \rightarrow \mathbb{R} \), η οποία είναι παραγωγίσιμη στο \( (α,β) \), αν \( f(α) = f(β) \), τότε υπάρχει ακριβώς ένα \( ξ \in (α,β) \) τέτοιο ώστε \( f^\prime (ξ)=0 \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2017

7 / 10

Για κάθε συνάρτηση \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) που είναι παραγωγίσιμη και δεν παρουσιάζει ακρότατα, ισχύει \( f^\prime(x) \neq 0 \) για κάθε \( x \in \mathbb{R} \).

Πανελλήνιες 2017

8 / 10

Αν \( f, ~ g \) είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού \( Α, ~ Β \) αντίστοιχα, τότε η \( g \circ f \) ορίζεται αν \( f(Α) \cap Β \neq \emptyset \).

Πανελλήνιες 2017

9 / 10

Για κάθε συνεχή συνάρτηση \( f : [α,β] \rightarrow \mathbb{R} \), αν ισχύει \( \int\limits_{β}^{α} f(x) dx =0 \), τότε \( f(x) = 0 \) για κάθε \( x \in [α,β] \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2017

10 / 10

Αν \( 0<α<1 \), τότε \( \lim\limits_{x \rightarrow - \infty} α^x = + \infty \).

Πανελλήνιες 2017

Your score is

0%

Σωστό - Λάθος από κανονικές και επαναληπτικές Πανελλήνιες Μαθηματικών του 2018

/9

Πανελλήνιες Μαθηματικών 2018

1 / 9

Αν οι συναρτήσεις \( f \) και \( g \) έχουν πεδίο ορισμού το \( [0,1] \) και σύνολο τιμών το \( [2,3]\), τότε ορίζεται η \( f \circ g \) με πεδίο ορισμού το \( [0,1] \) και σύνολο τιμών \( [2,3] \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2018

2 / 9

Η συνάρτηση \( f(x) = ημx \) με \( x \in \mathbb{R} \) έχει μία μόνο θέση ολικού μεγίστου.

Πανελλήνιες 2018

3 / 9

Ισχύει \( \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-συνx}{x} = 0 \).

Πανελλήνιες 2018

4 / 9

Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση \( f \) σε ένα διάστημα \( Δ \), η οποία είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει \( f ^ \prime (x)>0 \) για κάθε \( x \in Δ \).

Πανελλήνιες 2018

5 / 9

Αν η \( f \) είναι αντιστρέψιμη συνάρτηση, τότε οι γραφικές παραστάσεις \( C \) και \( C^\prime \) των συναρτήσεων \( f \) και \( f ^ {-1} \) αντίστοιχα είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία \( y=x \).

Πανελλήνιες 2018

6 / 9

Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση μίας συνάρτησης \( f \).

Πανελλήνιες 2018

7 / 9

Για κάθε ζεύγος πραγματικών συναρτήσεων \( f, ~ g : (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} \), αν ισχύει \( \lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x) = +\infty\) και \( \lim\limits_{x \rightarrow 0} g(x) = -\infty \), τότε \( \lim\limits_{x \rightarrow 0} \big[ f(x) + g(x) \big] = 0 \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2018

8 / 9

Η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) μπορεί να τέμνει μία ασύμπτωτή της.

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2018

9 / 9

Αν μία συνάρτηση \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) είναι "\( 1-1 \)", τότε κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της \( f \) το πολύ σε ένα σημείο.

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2018

Your score is

0%

Σωστό - Λάθος από κανονικές και επαναληπτικές Πανελλήνιες Μαθηματικών του 2019

/7

Πανελλήνιες Μαθηματικών 2019

1 / 7

Μία πολυωνυμική συνάρτηση \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) διατηρεί πρόσημο σε καθέ ένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της \( f \) χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2019

2 / 7

Αν \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) > 0 \), τότε \( f(x) > 0 \) για \( x \) κοντά στο \( x_0 \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2019

3 / 7

Η γραφική παράσταση της \( |f| \) αποτελείται από τα τμήματα της γραφικής παράστασης της \( f \) που βρίσκονται πάνω από τον άξονα \( x ^ \prime x \) και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα \( x ^ \prime x\), των τμημάτων της γραφικής παράστασης της \( f \) που βρίσκονται κάτω από αυτόν τον άξονα.

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2019

4 / 7

Για κάθε συνεχή συνάρτηση \( f \) στο διάστημα \( [α,β] \), ισχύει:
Αν \( \int\limits_{α}^{β} f(x) dx =0 \), τότε \( f(x) = 0 \) για κάθε \( x \in [α,β] \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2019

5 / 7

Για κάθε συνάρτηση \( f : Α \rightarrow \mathbb{R} \), όταν υπάρχει το όριο της \( f \) καθώς το \( x \) τείνει στο \( x_0 \in Α \),τότε αυτό το όριο ισούται με την τιμή της \( f \) στο \( x_0 \).

Πανελλήνιες 2019

6 / 7

Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης \( f \) μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο \( f \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2019

7 / 7

Για κάθε συνάρτηση \( f \), η οποία είναι παραγωγίσιμη στο \( Α= ( - \infty , 0) \cup ( 0 , + \infty ) \) με \( f ^ \prime (x) = 0 \) για κάθε \( x \in Α \), ισχύει ότι η \( f \) είναι σταθερή στο \( Α \).

Πανελλήνιες 2019

Your score is

0%

Σωστό - Λάθος από κανονικές και επαναληπτικές Πανελλήνιες Μαθηματικών του 2020 (Μέρος 1)

/10

Πανελλήνιες Μαθηματικών 2020 (Μέρος 1)

1 / 10

Για κάθε συνάρτηση \( f \), το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα της \( f \), εφόσον υπάρχουν, είναι το ολικό μέγιστο της \( f \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2020 Νέο

2 / 10

Κάθε συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2020 Νέο

3 / 10

\( \lim\limits_{x \rightarrow - \infty} e^x = -\infty \)

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2020 Νέο

4 / 10

Αν \( f, ~ g \) είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού \( Α \) και \( Β\), αντίστοιχα, τότε η \( g  \circ f \) ορίζεται, αν \( f(Α) \cap Β \neq \emptyset \).

Πανελλήνιες 2020

5 / 10

Η εικόνα \( f(Δ) \) ενός διαστήματος \(Δ \) μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι πάντα διάστημα.

Πανελλήνιες 2020

6 / 10

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \( f(x) = \sqrt{|x|} , ~ x \in \mathbb{R} \) έχει άξονα συμμετρίας τον \( y^ \prime y \).

Πανελλήνιες 2020

7 / 10

\( \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2ν+1}} = + \infty \), για κάθε \( ν \in \mathbb{N} \).

Πανελλήνιες 2020

8 / 10

Αν μία συνάρτηση \( f \) είναι συνεχής σε ένα διάστημα \( Δ \) και δεν μηδενίζεται σε αυτό, τότε η \( f \) διατηρεί πρόσημο στο διάστημα \(Δ\).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2020 Νέο

9 / 10

\( \big( ln|x| \big) ^ \prime = - \frac{1}{x} \), για κάθε \( x<0 \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2020 Νέο

10 / 10

Δίνεται ότι η συνάρτηση \( f \) παραγωγίζεται στο \( \mathbb{R} \) και ότι η γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα \( x ^\prime x\). Αν υπάρχει κάποιο σημείο \( Α(x_0,f(x_0)) \) της \( C_f \), του οποίου η απόσταση από τον άξονα \( x ^ \prime x\) είναι μέγιστη (ή ελάχιστη), τότε σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη της \( C_f \) είναι οριζόντια.

Πανελλήνιες 2020

Your score is

0%

Σωστό - Λάθος από κανονικές και επαναληπτικές Πανελλήνιες Μαθηματικών του 2020 (Μέρος 2)

/8

Πανελλήνιες Μαθηματικών 2020 (Μέρος 2)

1 / 8

Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων \( f , ~ g \) για τις οποίες υπάρχουν τα όρια \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x),~ \lim\limits_{x \rightarrow x_0} g(x) \) και \( f(x)<g(x) \) για κάθε \(x\) κοντά στο \( x_0 \), ισχύει \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) < \lim\limits_{x \rightarrow x_0} g(x) \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2020 Παλιό

2 / 8

Για κάθε συνάρτηση \( f \), η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο \( \mathbb{R} \), ισχύει \( f^{ \prime \prime} (x) >0 \) για κάθε \( x \in \mathbb{R} \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2020 Παλιό

3 / 8

Αν \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = +\infty \), τότε \( f(x)>0 \) κοντά στο \( x_0 \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2023

4 / 8

Για κάθε συνάρτηση \( f \) που είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο \( \mathbb{R} \), ισχύει \( f^\prime (x) > 0 \) για κάθε \( x \in \mathbb{R} \).

Πανελλήνιες 2020 Παλιό

5 / 8

Αν η \( f \) είναι μία συνεχής συνάρτηση στο \( [α,β] \), η οποία δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό και \( \int\limits_{α}^{β} f(x) dx =0 \), τότε η \( f \) παίρνει δύο τουλάχιστον ετερόσημες τιμές στο \( [α,β] \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2020 Παλιό

6 / 8

Για κάθε συνάρτηση \( f \) με \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = 0 \), ισχύει ότι \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)} = + \infty \) ή \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)} = - \infty \).

Πανελλήνιες 2020 Παλιό

7 / 8

Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων \( f,~ g \) για τις οποίες ορίζονται οι συναρτήσεις \( f \circ g \) και \( g \circ f \), ισχύει \( f\circ g = g \circ f\).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2020 Παλιό

8 / 8

Αν μία συνάρτηση \( f \) είναι συνεχής στο \( [α,β] \), παραγωγίσιμη στο \( (α,β) \) και \( f^\prime (x) \neq 0 \) για κάθε \( x \in (α,β) \), τότε \( f(α) \neq f(β) \).

Πανελλήνιες 2020 Παλιό

Your score is

0%

Σωστό - Λάθος από κανονικές και επαναληπτικές Πανελλήνιες Μαθηματικών του 2021

/10

Πανελλήνιες Μαθηματικών 2021

1 / 10

Αν \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) >0 \), τότε \( f(x)>0 \) κοντά στο \( x_0 \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2022, Πανελλήνιες 2021

2 / 10

Ισχύει \( |ημx|<|x| \), για κάθε \( x \in \mathbb{R}^* \).

Πανελλήνιες 2021

3 / 10

Αν η \( f \) είναι συνεχής συνάρτηση στο \( [α,β] \), τότε η \( f \) παίρνει στο \( [α,β] \) μία μέγιστη τιμή, \( M \), και μία ελάχιστη τιμή, \( m \).

Πανελλήνιες 2021

4 / 10

Για οποιαδήποτε αντιστρέψιμη συνάρτηση \( f \) με πεδίο ορισμού \( Α \) ισχύει ότι \( f \big( f^{-1} (x) \big) = x \), για κάθε \( x \in Α \).

Πανελλήνιες 2021

5 / 10

Αν \( f,~g \) είναι δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις με πεδία ορισμού \( Α \) και \( Β \) αντίστοιχα, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \( \frac{f}{g}\) είναι το \( Α \cap Β \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2021

6 / 10

Κάθε συνάρτηση \( f \) που είναι συνεχής σε σημείο \( x_0 \) του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο \( x_0 \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2021,2020 Παλιό

7 / 10

Έστω μία συνάρτηση \( f \) συνεχής σε ένα διάστημα \( Δ \) και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του \( Δ \). Αν \( f^{\prime \prime} (x) >0 \) για κάθε εσωτερικό σημείο \( x \) του \( Δ \), τότε η \( f \) είναι κυρτή στο \( Δ \).

Πανελλήνιες 2021

8 / 10

Για οποιαδήποτε συνάρτηση \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), με \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) > 0 \), ισχύει ότι \( f(x) > 0 \) για κάθε \( x \in \mathbb{R} \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2021

9 / 10

Αν μία συνάρτηση \( f \), η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα \( (α,β) \), παρουσιάζει στο σημείο \( x_0 \in (α,β) \) καμπή, τότε \( f^{\prime \prime}(x_0)=0 \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2021

10 / 10

Έστω μία συνάρτηση \( f \) ορισμένη σε ένα διάστημα \( Δ \) και \( x_0 \) ένα εσωτερικό σημείο του \( Δ \). Αν η \( f \) παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο \( x_0 \) και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε \( f^\prime (x_0) =0\).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2022,2021

Your score is

0%

Σωστό - Λάθος από κανονικές και επαναληπτικές Πανελλήνιες Μαθηματικών του 2022

/10

Πανελλήνιες Μαθηματικών 2022

1 / 10

Η συνάρτηση \( f(x) = σφx \) είναι παραγωγίσιμη στο \( R_2 = \mathbb{R} - \{x|ημx=0\} \) και ισχύει \( f^\prime (x) =- \frac{1}{ημ^2x}\).

Πανελλήνιες 2022

2 / 10

Έστω μία συνάρτηση \( f \) συνεχής στο διάστημα \( [α,β] \). Αν \( f(x) \geq 0 \), για κάθε \( x \in [α,β] \), τότε \( \int\limits_{α}^{β} f(x)dx \geq 0\).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2022

3 / 10

Αν \( 0<α<1 \) τότε \( \lim\limits_{x \rightarrow + \infty} α^x =0 \).

Πανελλήνιες 2022

4 / 10

Ισχύει \( \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{ημx}{x}=0 \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2022

5 / 10

Αν \( \int\limits_{α}^{β} f(x)dx \geq 0 \), τότε κατ' ανάγκη θα είναι \( f(x) \geq 0 \), για κάθε \( x \in [α,β] \).

Πανελλήνιες 2022

6 / 10

Αν \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) >0 \), τότε \( f(x)>0 \) κοντά στο \( x_0 \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2022, Πανελλήνιες 2021

7 / 10

Η συνάρτηση \( f(x) = ln|x| \), \( x\in \mathbb{R}^*=\mathbb{R}-\{0\}\), είναι παραγωγίσιμη στο \( \mathbb{R}^* \) και ισχύει:

$$\left( ln|x| \right)^\prime = \frac{1}{|x|},~\text{για κάθε}~x \in \mathbb{R}^*$$

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2022

8 / 10

Έστω μία συνάρτηση \( f \) ορισμένη σε ένα διάστημα \( Δ \) και \( x_0 \) ένα εσωτερικό σημείο του \( Δ \). Αν η \( f \) παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο \( x_0 \) και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε \( f^\prime (x_0) =0\).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2022,2021

9 / 10

Αν η συνάρτηση \( f \) είναι συνεχής στο \( [0,1] \), παραγωγίσιμη στο \( (0,1) \) και \( f^\prime (x) \neq 0 \), για όλα τα \( x \in (0,1) \), τότε \( f(0) \neq f(1) \).

Πανελλήνιες 2022

10 / 10

Ισχύει ότι \( \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-συνx}{x}=1 \).

Πανελλήνιες 2022

Your score is

0%

Σωστό - Λάθος από κανονικές και επαναληπτικές Πανελλήνιες Μαθηματικών του 2023

/9

Πανελλήνιες Μαθηματικών 2023

1 / 9

Ισχύει ότι \( \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{συνx-1}{x} = 1 \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2023

2 / 9

Αν η \( f \) είναι συνεχής συνάρτηση στο \( [α,β] \), με \( \int\limits_{α}^{β} f(x)dx=0 \), τότε κατ' ανάγκη θα είναι \( f(x)=0 \), για κάθε \( x \in [α,β] \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2023

3 / 9

Ισχύει ότι \( \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{ημx}{x}=1 \).

Πανελλήνιες 2023

4 / 9

Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης περιττού βαθμού έχει πάντοτε οριζόντια εφαπτομένη.

Πανελλήνιες 2023

5 / 9

Αν \( f,~g \) είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι \( f \circ g \) και \( g \circ f \), τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες.

Πανελλήνιες 2023, Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2023

6 / 9

Για κάθε συνάρτηση \( f \), η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα \( Δ \) και γνησίως αύξουσα στο \( Δ \), ισχύει ότι \( f^\prime (x)>0 \) σε κάθε εσωτερικό σημείο \( x \) του \( Δ \).

Πανελλήνιες 2023

7 / 9

Αν \( \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = +\infty \), τότε \( f(x)>0 \) κοντά στο \( x_0 \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2023

8 / 9

Εάν η συνάρτηση \( f \) είναι συνεχής στο \( x_0\) και η συνάρτηση \( g \) είναι συνεχής στο \( f(x_0) \), τότε η σύνθεσή τους \( g \circ f \) είναι συνεχής στο \( x_0 \).

Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2023

9 / 9

Αν η \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) είναι μία "ένα προς ένα" ("\( 1-1 \)") συνάρτηση, τότε οι γραφικές παραστάσεις \( C \) και \( C^\prime \) των συναρτήσεων \( f \) και \( f^{-1} \) είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία \( y=x \) που διχοτομεί τις γωνίες \( xΟy \) και \( x^\prime Ο y^\prime \).

Πανελλήνιες 2023

Your score is

0%

Μοιράσου το με τους φίλους σου